Szőllősy András Erdélyben, a magyar-német-román kultúrájú Szászvárosban született 1921. február 27-én. Családja 1926-ban Kolozsvárra költözött. Itt tanult később zenét Csipkés Ilonánál, és itt érettségizett a Református Kollégiumban. 1939-ben Budapestre költözött. Zeneszerzést tanult a Zeneakadémián Kodálynál, rövid ideig Siklós Albertnél, végül Viski Jánosnál; majd 1947-48-ban a Római Santa Cecilia Akadémián Goffredo Petrassi mesterosztályába járt. Művészi tanulmányaival párhuzamosan magyar-francia szakos Eötvös-kollégistaként bölcsészdoktori címet szerzett a Pázmány Péter Tudományegyetemen.

1939 és 1998 között félszáz esszét, tanulmányt publikált, könyvet írt Kodályról és Honeggerről, kiadta Bartók és Kodály írásait, készített egy átfogó Bartók-bibliográfiát és 1956-ban megjelentette Bartók műveinek első átfogó jegyzékét. A Bartók művei melletti un. „Sz." szám erre hivatkozik.

Saját zenei nyelvére aránylag későn talált rá, igényessége, kérlelhetetlen minőség-érzéke biztosan közrejátszott abban, hogy a 16 vonósra írt 1968-as III. Concerto előtti időkből alig tartott meg művet. Szőllősy a III. Concertóval az UNESCO 1970-es Nemzetközi Rosztrumán elnyerte az Év Zeneszerzője címet, ismertté vált mindenütt, és a következő két évtizedben sorra mutatták be az életmű egyik súlypontját képviselő zenekari műveket, a kórusokat, a szóló és kamaraműveket; nem egyet közülük európai vagy amerikai megrendelő felkérésére. A kamaraegyüttesekre írt megrendítő késői darabok – az Elegia, a Máté Ákos emlékére írt Passacaglia és a Kroó György-emlékdarab: az Addio –, csakúgy mint az egyetlen zongoradarab: a Paesaggio con morti [Tájkép halottakkal] alkotják az életmű másik, letisztult pillérét.

Számszerűen kicsi ez  az életmű; Szőllősy igényességét szokták azzal jellemezni:, hogy ő csakis a jó műveit írta meg. (Ugyanakkor ezek – a „maradandók" – mellett 1954 és 1977 között több mint hatvan kitűnő film-, színpadi és rádiójáték-zene is elkészült a zeneszerző műhelyében.)

Szőllősy 1950-től nyugdíjba vonulásáig zenetörténet és zeneelmélet tanárként működött a budapesti Zeneakadémián. 1971-ben Erkel díjat, 1985-ben Kossuth-díjat, 1986-ban Bartók Béla-Pászttory Ditta díjat kapott. 1987-ben a francia állam a Becsületrend parancsnoki fokozatával tüntette ki.
2007. december 7-én halt meg Budapesten.