Kurtág György 1926 február 19-én született a bánáti Lugoson (románul Lugoj).
1948 óta magyar állampolgár; 2002-ben felvette a francia állampolgárságot is. Ötéves kora óta tanult zongorázni, Vojkicza-Peia Kláránál. Sokat köszönhetett a közös muzsikálásnak édesanyjával, akivel Haydn- és Beethoven-szimfóniák valamint Mozart-nyitányok négykezes átiratait játszották.
Az első igazi pedagógus-egyéniség, akitől életre szóló, zeneszerzői tevékenységére is kiható élményeket kapott, Kardos Magda volt Temesvárott. Zeneszerzéstanulmányait (összhangzattant és ellenpontot) Max Eisikovitsnál kezdte, ugyancsak Temesvárott. 1945 szeptemberében felvételizett a budapesti Zeneakadémiára; ekkor ismerkedett meg Ligeti Györggyel, akihez életre szóló barátság fűzte. 1946-ban kezdte meg tanulmányait Budapesten: Kadosa Pál (zongora), Weiner Leó (kamarazene), Veress Sándor majd Farkas Ferenc (zeneszerzés) voltak a professzorai, de jelentős impulzusokat kapott Járdányi Páltól is. 1951-ben diplomázott Kadosa Pálnál a zongoraművészképzőn és Weiner Leónál a kamarazene-főtanszakon. 1955-ben nyerte el zeneszerzés-diplomáját Farkas Ferencnél.
1947-ban feleségül vette Kinsker Mártát, aki élettársként, 1954-ben született fiúk, ifj. Kurtág György édesanyjaként, zongoraművészként, a születő kompoziciók első hallgatója- és birálójaként 2019-ben bekövetkezett haláláig meghatározó szerepet játszott Kurtág életében.
1957/1958-ban Olivier Messiaen és Darius Milhaud kurzusait látogatta Párizsban, a legnagyobb hatást azonban Marianne Stein tanítása gyakorolta rá. Nemcsak abban segített, hogy Kurtág megtalálja a komponálását éveken át bénító alkotói válságból kivezető utat. Új fejezetet nyitott a zeneszerző pályáján ("Marianne megfelezte az életemet") - irányt mutatott. Ez magyarázza az Opus 1-es Vonósnégyes ajánlását, és évekkel később ezért dedikálta Marianne Steinnek az Opus 24-es Kafka-töredékeket is. A Párizsban töltött hónapok során Kurtág maradandó zenei benyomásokat köszönhetett a Domaine musical koncertjeinek, ahol többek között számos Boulez-művet hallott az együttest alapító zeneszerző dirigálásával. Ez az év, valamint úton hazafelé a Kölnben töltött néhány nap, amikor viszontlátta Ligetit, aki megmutatta az elektronikus Artikulation-t, megismerkedett Stockhausennel és meghallgatta annak Gruppen cimű darabját három zenekarra döntő hatást gyakorolt Kurtág pályájára. Ezek a benyomások nagy szerepet játszottak az Opus 1-es első Vonósnégyes létrejöttében.
1960 és 1968 között Kurtág az Országos Filharmónia szólistáit korrepetálta; 1967-ben kezdte meg oktatói tevékenységét a Zeneakadémián. Kezdetben Kadosa Pál tanársegédje volt a zongoratanszakon, majd kamarazenét tanított. 1986-ban nyugdíjba vonult, de ezekután is,1993-ig, rendszeresen tanított a Zenekakadémián. Azóta, a mai napig, évente több kamarazene-kurzust tart Európa számos országában valamint az Egyesült Államokban. 1971-ben DAAD-ösztöndíjasként egy évet Nyugat-Berlinben töltött. 1973-ban Kossuth-díjjal tüntették ki. (1996-ban másodszor is megkapta a kitüntetést).
1981-ben mutatta be az Ensemble Intercontemporain Párizsban A megboldogult R.V.Truszova üzenetei, Op. 17 cimű kompoziciót szopránra és kamaraegyüttesre (szólista: Csengery Adrienne, karmester: Sylvain Cambreling). A mű átütő sikere indította meg Kurtág nemzetközi karrierjét. 1993-ban a berlini Wissenschaftskolleg meghívására két esztendőre a városba költözött, mint a Berlini Filharmonikusok composer-in-residence-sze. 1995/1996-ban hasonló minőségben a bécsi Konzerthaus vendége, majd Amszterdam (1996-1998), ismét Berlin (1998-1999) és Párizs (1999-2001) következett. A Kurtág-házaspár 2001 és 2015 között Bordeaux közelében, St. André de Cubzacban élt, majd visszatért Budapestre.
Kurtág György számos kitüntetés és díj birtokosa. 1998-ban például az Ernst von Siemens Musikstiftung díjának nyertese, 2006-ban ....concertante..., Op. 42 cimű kompoziciójának ítélik a világ egyik legtekintélyesebb zenei díját, a Grawemeyer Awardot.
2018-ban mutatta be a milánói La Scala operáját, a Samuel Beckett azonos című színművére írt Fin de partie-t, amit a következő években Amszterdamban, Valenciában és Párizsban is előadtak.